Рассмотрим некоторые конкретные примеры составления конечно-разностных схем для узлов двумерной задачи теплопроводности. В этом случае уравнение (2) принимает вид

dT/dx + dT/dy = 0 . (3)

Внутренняя область типичного двумерного тела показана на рис.1.

Рис.1. Расположение узла внутри двумерного тела толщиной б.

Каждый элементарный прямоугольник (ячейка сетки) имеет длину ‑х и высоту ‑у в направлениях осей х и у. Внутренний узел, обозначенный символом 0, окружен четырьмя соседними узлами: 1,2,3,4. Кондуктивный перенос теплоты, который в действительности происходит в твердом теле через поверхности y*б и x*б (б -толщина тела) будем считать как перенос теплоты от соответствующих узлов к центральному. В установившихся условиях уравнение баланса тепловых потоков для узла 0 при отсутствии внутреннего тепловыделения будет иметь вид

Q(1-0) + Q(2-0) + Q(3-0) + Q(4-0) = 0 , (4)

где Q(I-0) - тепловой поток; индекс (I-0) указывает направление переноса в узлах.

Для определения кондуктивного теплового потока может быть применен закон Фурье

Q = - lamda * F * dT/dn, (5)

где Т - температура, n - направление переноса теплового потока, F - поверхность, через которую переносится тепловой поток.

Для построения расчетной схемы градиент температуры в выражении (5) заменим разностью температур в соседних узлах. В этом случае первый член выражения (4) примет вид

Q(1-0) = y*б*(T[1] - T[0])/x. (6)

Здесь градиент температуры определяется на границе двух узлов 1 и 0, имеющих температуры соответственно Т[1] и Т[0].

Аналогичные уравнения могут быть получены и для остальных трех членов уравнения (1):

Q(2-0) = x*б*(T[2] - T[0])/y, (7)

Q(3-0) = y*б*(T[3] - T[0])/x, (8)

Q(4-0) = x*б*(T[4] - T[0])/y . (9)

Точность аппроксимации градиента зависит от размера ячейки. Если ячейка имеет квадратную форму, то уравнение теплового потока становится независимым от формы тела.

Подставляя зависимости (6) .(9) в выражение (4), можно увидеть, что при постоянном коэффициенте теплопроводности для квадратной сетки (x = y) оно сводится к соотношению между температурами в рассматриваемом узле и близлежащих:

T[1]+ T[2] + T[3] + T[4] - 4*T[0] = 0. (10)

Выражение (10) применимо ко всем внутренним узлам.

Рассмотрим узел, расположенный на поверхности твердого тела, толщиной б в двухмерной задаче (рис.2).

Рис.2.Расположение узлов на поверхности

двумерного тела, омываемого жидкостью

Пусть узел 0, расположенный на границе твердого тела, контактирует с окружающей средой, имеющей температуру Тc. Интенсивность теплообмена с окружающей средой характеризуется коэффициентом теплоотдачи alfa. Узел 0 может также обмениваться кондуктивным потоком теплоты с тремя соседними узлами: 1,2,3. В этом случае тепловой баланс для узла 0 запишется следующим образом:

Q(1-0) + Q(2-0) + Q(3-0) + Q(c-0) = 0, (11)

где Q(c 0)-тепловой поток, передаваемый от среды узлу 0 конвекцией.

По закону Ньютона - Рихмана

Q(c-0) = alfa*F*(T[c] - T[0]) . (12)

В результате преобразований выражения (11), по аналогии с ранее выполненными, для внутреннего узла, получим

y*б*(T[1] -T[0])/ x + (x/2)*б*(T[2] -T[0])/ y + ( x/2)*

*б*(T[3] -T[0])/ y + alfa* y*б*(Tc -T[0]) = 0 . (13)

Соотношение (13) значительно упрощается при выборе квадратной сетки. В этом случае при постоянном коэффициенте теплопроводности оно приводится к виду

T[1] + 0,5*(T[2] + T[3]) + Bi*Tc - (2+Bi)*T[0] = 0, (14)

где Bi =alfa* x/lamda - число Био.

Ниже приведены уравнения теплового баланса при других граничных условиях для двухмерных тел (x=y):

Узел Схема Расчетное

уравнение

.│/ Т

. 2 */ Е

. ║/ П

Плоская поверх- ─┬──.──── ┌ ─ ║/ Л

ность с тепло- │ . ║/ О

изолированной x . * ══╪═ *║/ И

границей │ . 1 0 ║/ З 0,5(T[2] + T[3]) +

─┴──.──── ├─ ─╢/ О + T[1] -2*T[0] = 0

. ║/ Л

. ─>┴ x╠<Я

. 3 */ Ц

. │/ И

/ Я

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - -

. . . . .

. *2 .

. ──>┼───╫ x ├<─ .

. ├─ ─║─ ─┼─┬─ .

Внутренний угол, . 1 0 ║ │ 3. 0,5*(T[1]+T[4])+

обе поверхности .───*─══╧══─* ══╪══ * . +T[2]+T[3]+Bi*Tc-

омываются жид- alfa,Tc ║ x . -(3+Bi)*T[0] = 0

костью Окружающая ║─ ─┴─┴─ .